\(\triangleright\) Définition de la fonction d'onde
Une fonction mathématique \(\Psi(x,y,z,t)\) dite "fonction d'onde de matière" est susceptible de décrire le comportement d'une particule dans l'espace
\(\triangleright\) Caractéristique des fonctions d'ondes
L'ensemble des fonctions d'ondes forme un Espaces vectoriels complexe \(\mathcal H\). Si \(\Psi_1,\Psi_2\in \mathcal H\) alors la somme et le produit par une constante complexe appartiennent aussi à cet ensemble.
$$(\Psi_1 +\Psi_2)\in \mathcal H$$
$$\lambda\Psi_1\in\mathcal H \quad ,\lambda \in \Bbb C$$
Densité volumique de probabilité de présence
\(\triangleright\) Notation de Dirac
Avec la notation de Dirac, on convient de représenter l'état quantique d'une fonction d'onde \(\Psi\) par le symbole \(\ket{\Psi}\), nommé \(ket\).
Cette notation apporte une vision vectorielle de la fonction d'onde et permet de représenter n'importe quel état quantique dans l'Espace des états (le spin par exemple).
Fonction d’onde d’une onde plane
Fonction d’onde d’un paquet d’onde Gaussien
Afin de pouvoir distinguer quantitativement deux fonctions d'ondes, on introduit le produit scalaire.
Produit scalaire Hermitien
\(\triangleright\) Normalisation de la fonction \(\Psi\)
On parle de normalisation d'un fonction d'onde lorsque $$||\Psi||=1$$
$$||\Psi||^2\iff \langle\Psi|\Psi\rangle=1$$
Or, \(\langle\Psi|\Psi\rangle=\int_{\Bbb R}|\Psi(x)|^2 dx\)
Par conséquent, \(||\Psi||=1\) signifie que la surface sous la courbe de la fonction d'onde est égale à 1.
\(\implies\) la Densité volumique de probabilité de présence est égale à 1.
Pour le vecteur \(\ket{\Psi}\), cela signifie que sa norme est égale à 1.
\(\triangleright\) Propriétés utiles
Avec \(\lambda \in \Bbb C\)
$$\langle\Psi_1|\Psi_2\rangle= \overline{\langle\Psi_2|\Psi_1\rangle}(conjugué)$$
$$\langle\lambda\Psi_1|\Psi_2\rangle=\bar\lambda\langle\Psi_1|\Psi_2\rangle$$
$$\langle\Psi_1+\Psi_2|\Psi_3\rangle=\langle\Psi_1|\Psi_3\rangle+\langle\Psi_2|\Psi_3\rangle$$
Pour que deux vecteurs de fonctions d'ondes soit conlinéaires, il faut qu'ils vérifient ces deux inégalités:
- Inégalité de Schwartz pour les fonctions d'ondes
- Inégalité triangulaire pour les fonctions d'ondes
